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377. Combination Sum IV

题目

Given an array of distinct integers nums and a target integer target, return the number of possible combinations that add up to target.

The answer is guaranteed to fit in a 32-bit integer.

Example 1:

Input: nums = [1,2,3], target = 4
Output: 7
Explanation:
The possible combination ways are:
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
Note that different sequences are counted as different combinations.

Example 2:

Input: nums = [9], target = 3
Output: 0

Constraints:

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 1000
• All the elements of nums are unique.
• 1 <= target <= 1000

Follow up: What if negative numbers are allowed in the given array? How does it change the problem? What limitation we need to add to the question to allow negative numbers?

题目大意

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

解题思路

• Combination Sum 这是系列问题。拿到题目，笔者先用暴力解法 dfs 尝试了一版，包含的重叠子问题特别多，剪枝条件也没有写好，果然超时。元素只有 [1,2,3] 这三种，target = 32，这组数据居然有 181997601 这么多种情况。仔细看了题目数据规模 1000，基本可以断定此题是动态规划，并且时间复杂度是 O(n^2)。

• 本题和完全背包有点像，但是还是有区别。完全背包的取法内部不区分顺序。例如 5 = 1 + 2 + 2。但是本题是 3 种答案 (1，2，2)，(2，1，2)，(2，2，1)。定义 dp[i] 为总和为 target = i 的组合总数。最终答案存在 dp[target] 中。状态转移方程为：

  $$dp[i] =\left{\begin{matrix}1,i=0\ \sum dp[i-j],i\neq 0\end{matrix}\right.$$

• 这道题最后有一个进阶问题。如果给定的数组中含有负数，则会导致出现无限长度的排列。例如，假设数组 nums 中含有正整数 a 和负整数 −b（其中 a>0,b>0,-b<0），则有 a×b+(−b)×a=0，对于任意一个元素之和等于 target 的排列，在该排列的后面添加 b 个 a 和 a 个 −b 之后，得到的新排列的元素之和仍然等于 target，而且还可以在新排列的后面继续 b 个 a 和 a 个 −b。因此只要存在元素之和等于 target 的排列，就能构造出无限长度的排列。如果允许负数出现，则必须限制排列的最大长度，不然会出现无限长度的排列。

代码

package leetcode

func combinationSum4(nums []int, target int) int {
	dp := make([]int, target+1)
	dp[0] = 1
	for i := 1; i <= target; i++ {
		for _, num := range nums {
			if i-num >= 0 {
				dp[i] += dp[i-num]
			}
		}
	}
	return dp[target]
}

// 暴力解法超时
func combinationSum41(nums []int, target int) int {
	if len(nums) == 0 {
		return 0
	}
	c, res := []int{}, 0
	findcombinationSum4(nums, target, 0, c, &res)
	return res
}

func findcombinationSum4(nums []int, target, index int, c []int, res *int) {
	if target <= 0 {
		if target == 0 {
			*res++
		}
		return
	}
	for i := 0; i < len(nums); i++ {
		c = append(c, nums[i])
		findcombinationSum4(nums, target-nums[i], i, c, res)
		c = c[:len(c)-1]
	}
}