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96. Unique Binary Search Trees

题目

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?

Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

题目大意

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

解题思路

• 给出 n，要求利用 1-n 这些数字组成二叉排序树，有多少种不同的树的形态，输出这个个数。
• 这题的解题思路是 DP。dp[n] 代表 1-n 个数能组成多少个不同的二叉排序树，F(i,n) 代表以 i 为根节点，1-n 个数组成的二叉排序树的不同的个数。由于题意，我们可以得到这个等式：dp[n] = F(1,n) + F(2,n) + F(3,n) + …… + F(n,n) 。初始值 dp[0] = 1，dp[1] = 1。分析 dp 和 F(i,n) 的关系又可以得到下面这个等式 F(i,n) = dp[i-1] * dp[n-i] 。举例，[1,2,3,4,…, i ,…,n-1,n]，以 i 为 根节点，那么左半边 [1,2,3,……,i-1] 和 右半边 [i+1,i+2,……,n-1,n] 分别能组成二叉排序树的不同个数相乘，即为以 i 为根节点，1-n 个数组成的二叉排序树的不同的个数，也即 F(i,n)。

注意，由于二叉排序树本身的性质，右边的子树一定比左边的子树，值都要大。所以这里只需要根节点把树分成左右，不需要再关心左右两边数字的大小，只需要关心数字的个数。

• 所以状态转移方程是 dp[i] = dp[0] * dp[n-1] + dp[1] * dp[n-2] + …… + dp[n-1] * dp[0]，最终要求的结果是 dp[n] 。