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4. Median of Two Sorted Arrays

题目

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

You may assume nums1 and nums2 cannot be both empty.

Example 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5

题目大意

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

解题思路

• 给出两个有序数组，要求找出这两个数组合并以后的有序数组中的中位数。要求时间复杂度为 O(log (m+n))。

• 这一题最容易想到的办法是把两个数组合并，然后取出中位数。但是合并有序数组的操作是 O(m+n) 的，不符合题意。看到题目给的 log 的时间复杂度，很容易联想到二分搜索。

• 由于要找到最终合并以后数组的中位数，两个数组的总大小也知道，所以中间这个位置也是知道的。只需要二分搜索一个数组中切分的位置，另一个数组中切分的位置也能得到。为了使得时间复杂度最小，所以二分搜索两个数组中长度较小的那个数组。

• 关键的问题是如何切分数组 1 和数组 2 。其实就是如何切分数组 1 。先随便二分产生一个 midA，切分的线何时算满足了中位数的条件呢？即，线左边的数都小于右边的数，即，nums1[midA-1] ≤ nums2[midB] && nums2[midB-1] ≤ nums1[midA] 。如果这些条件都不满足，切分线就需要调整。如果 nums1[midA] < nums2[midB-1]，说明 midA 这条线划分出来左边的数小了，切分线应该右移；如果 nums1[midA-1] > nums2[midB]，说明 midA 这条线划分出来左边的数大了，切分线应该左移。经过多次调整以后，切分线总能找到满足条件的解。

• 假设现在找到了切分的两条线了，数组 1 在切分线两边的下标分别是 midA - 1 和 midA。数组 2 在切分线两边的下标分别是 midB - 1 和 midB。最终合并成最终数组，如果数组长度是奇数，那么中位数就是 max(nums1[midA-1], nums2[midB-1])。如果数组长度是偶数，那么中间位置的两个数依次是：max(nums1[midA-1], nums2[midB-1]) 和 min(nums1[midA], nums2[midB])，那么中位数就是 (max(nums1[midA-1], nums2[midB-1]) + min(nums1[midA], nums2[midB])) / 2。图示见下图：